Juhuslikud sündmused. Tõenäosus.

iDevide ikoon Tõenäosusteooria tekkimisest

Tõenäosusteooria arengus on suurt rolli omanud õnnemängud. Esimene teadaolev tõenäosusi uuriv raamat on Gerolamo Cardano (1501-1576) "Liber de Ludo Aleae" ("Raamat õnnemängudest"), mis avaldati alles aastal 1663. Tõenäosusteooria kui matemaatilise distsipliini arengu alguseks võib aga pidada prantsuse aadliku ja õnnemänguri Chevalier de Méré poolt püstitatud ülesannete lahendamist Blaise Pascal'i ja Pierre de Fermat' poolt aastal 1654.

Esimene ülesanne: Méré oli täringumängu mängides märganud, et nelja täringuviskega ühe "kuue" saamise tõenäosus on suurem kui 1/2, kui aga ta tegi panuseid sellele, et täringupaari viskamisel 24 korda tuleb vähemalt üks "kuute" paar, tundus talle, et võidu tõenäosus oli väiksem kui 1/2. Seetõttu tahtis ta teada, mitu viset on vaja selleks, et vähemalt ühe "kuuepaari" tulemuse tõenäosus oleks vähemalt 1/2. Pascal näitas, et selleks kulub 25 viset.

Teine ülesanne: Kuidas jagada ausalt raha, kui panused on tehtud mängudeseeria võitmise peale ning mingil põhjusel tuleb seeria katkestada. Näiteks, kui mündiviske mängus on kaks mängijat, mängu võidab see, kes viskab esimesena kolm "kulli" (või vastasena vastavalt kolm "kirja"); mingil põhjusel mäng katkestatakse olukorras, kus on sooritatud kolm viset, millest kahe tulemuseks oli "kull" ja ühe tulemuseks "kiri". Pascal ja Fermat leidsid korrektse vastuse, kusjuures kumbki lahendas selle küsimuse erineval lähenemisviisil.


iDevide ikoon Kindel, võimatu ja juhuslik sündmus

Kindel sündmus - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral alati toimub.

Kindlateks sündmusteks on igahommikune päikesetõus, samuti see, et 1000 õpilasega "mammutkoolis" on vähemalt kolmel lapsel ühel ja samal päeval sünnipäev.

Võimatu sündmus - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu.

Võimatuteks sündmusteks on näiteks täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; see, et inimene on sündinud kolmel erineval päeval ja ka see on võimatu, et inimene elab 2000 aastaseks.

Juhuslik sündmus - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda.

Juhuslikeks sündmusteks on sünnipäeva sattumine 31. detsembrile, loteriiga peavõidu saamine, endise klassikaaslase kohtamine tänaval vms.

 


iDevide ikoon Juhtumi kirjeldus

Ühe väikese kooli veel väiksemas klassis õppis 10 õpilast ja neil kõigil oli ühel ja samal päeval sünnipäev. Võimatu!!! Nii arvavad paljud tõenäosusteooriat mitte tundvad inimesed. Teie kindlasti nii ei arva, sest see, et kümnel inimesel kümnest on ühel ja samal päeval sünnipäev, on täiesti võimalik, kuigi väga harvaesinev.

Teises koolis õppis 365 last ja nad olid kõik sündinud erinevatel päevadel. Ka see on harvaesinev juhtum, kuid siiski võimalik.

Küsimus: kui koolis õpib 1000 õpilast, siis mitmel õpilasel on kindlasti ühel ja samal päeval sünnipäev?

Vaatame, kuidas võivad inimeste sünnipäevad sattuda juhuslikult suvalistele kalendripäevadele ja kas piisavalt väikese inimeste arvu korral võib kahel või enamal inimesel sünnipäev sattuda ühele ja samale päevale.

Abiks võtame järgmise Java-simulatsiooni, mis aitab meil juhuslikult sünnipäevi genereerida http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html. Missuguse järelduse teete?


iDevide ikoon Tõenäosuse definitsioon

Mingi sündmuse toimumise tõenäosuseks nimetatakse selle sündmuse esinemiseks soodsate võimaluste arvu jagatist kõigi võimaluste arvuga.

Kui soodsate võimaluste arvu tähistame tähega m ja kõikide võimaluste arvu tähega n, siis tõenäosus p

.

Näiteks täringuviskel kahe silma saamiseks on soodsaid võimalusi m = 1 ja võimalusi üldse n = 6, seega

.


IDevice küsimuse ikoon Leidke küsimusele õige vastus
Missugune järgmistest sündmustest on juhuslik?
  
Eksamil hinde saamine
Kõrgushüppevõistlusel üle kolme meetri hüppamine.
Kolmapäeva pärastlõunal vihma sadamine.
See, et reedele järgnev kohe pühapäev.

Täringuga paarisarvulise silmade saamiseks on soodsaid võimalusi
  
kolm
Kuus
Kaks
Kuus

Võimatu sündmuse korral soodsaid võimalusi
  
ei ole
on samapalju, kui võimalusi üldse
on soodasaid võimalusi väga vähe.

Tõenäosusteooria rajajateks on Blaise Pascal ja
  
Pierre de Fermat
Pierre Simon Fermat
Armin Karu
markii de Mere

Marti viskas täringuga kuus korda järjest kuus silma. Kas järgmisel viskel tuleb ka kuus silma?
  
Võib tulla, aga võib ka mitte tulla
Kindlasti mitte
Kindlasti tuleb

Kumb on tõenäosem - kas täringuga paarisarvulise või paarituarvulise silmade arvu saamine?
  
Mõlemad on võrdse tõenäosusega
2, 4 või 6 saamine on tõenäosem
1, 3 või 5 saamine on tõenäosem.
Seda ei saa üldse kindlaks määrata

Mari ostis Keno Loto pileti ja tema märgitud numbrid on 1, 2, 3, 4 ja 5. Marti pidas sellist märkimist aga jaburaks ja valis oma piletil arvud 3, 11, 34, 45 ja 63. Kas on õige väita, et Marti võiduvõimalused on suuremad?
  
Marti võiduvõimalused on suuremad
Mari võiduvõimalused on suuremad
Võiduvõimalused on võrdsed
Võiduõimalusi ei saa enne loosimise toimumist hinnata

iDevide ikoon Uuri järgi!

Kindlasti oli kõik eelnev Teile hõlpsasti mõistetav. Selle teema lõpetuseks pakun uurida üht-teist ka iseseisvalt. Tõenäosusteoorias on mitmeid huvitavaid ülesandeid, mida nimetatakse ka paradoksideks või siis probleemideks.

Kasutades Vikipeedia inglisekeelseid materjale uurige, milles seisnevad järgmised probleemid:

a) Monty Halli probleem;

b) sünnipäeva paradoks;

c) kolme kaardi probleem.

 


Tehke nendest probleemidest resümee ja koostage vastav PowerPointi esitlus.


See artikkel on litsentseeritud Creative Commons Attribution-NonCommercial 2.5 License